Algunos axiomas del conjunto de los números reales.

Operaciones en $\mathbb{R}$

El conjunto $\mathbb{R}$ posee 2 operaciones fundamentales o básicas: la suma y la multiplicación. Las demás operaciones tales como la resta o la división se definen utilizando las básicas. A continuación se exponen las propiedades de las operaciones básicas de $\mathbb{R}$, también conocidas como axiomas de $\mathbb{R}$.

Axiomas de $\mathbb{R}$

La suma y la multiplicación comparten las mismas propiedades, y hay un caso en que ambas operaciones se combinan en un solo axioma, por lo cual los axiomas de $\mathbb{R}$ se pueden presentar de manera comprimida como una lista de 6 propiedades o axiomas, de los cuales en 5 se puede sustituir la suma o la multiplicación, dando como resultado un axioma particular. La lista de los axiomas comprimidos quedaría así: 

1. Cerradura
2. Conmutatividad
3. Asociatividad
4. Elemento neutro
5. Inverso
6. Distributividad

La distributividad es la propiedad que combina ambas operaciones, mientras que en el resto se puede elegir la suma o la multiplicación, como por ejemplo en la propiedad de cerradura, dando como resultado la propiedad de cerradura de la suma o cerradura de la multiplicación, dependiendo el caso.  

Siendo más estrictos, los axiomas de $\mathbb{R}$ que involucran la suma y la multiplicación son 11, y la lista queda así:

1. Cerradura de la suma
2. Cerradura de la multiplicación
3. Conmutatividad de la suma
4. Conmutatividad de la multiplicación
5. Asociatividad de la suma
6. Asociatividad de la multiplicación
7. Elemento neutro de la suma (0)
8. Elemento neutro de la multiplicación (1)
9.  Inverso aditivo (inverso)
10. Inverso multiplicativo (recíproco)
11. Distributividad

Formalización de los axiomas de $\mathbb{R}$

Los axiomas presentados pueden enunciarse mediante un lenguaje formal de primer orden, dando como resultado una lista como la siguiente:

1. $\forall (xy)(x\in \mathbb{R} \wedge y \in \mathbb{R} \rightarrow x + y \in \mathbb{R})$
2. $\forall(xy)(x\in \mathbb{R} \wedge y \in \mathbb{R} \rightarrow x \cdot y \in \mathbb{R})$
3. $\forall (xy)(x+y=y+x)$
4. $\forall (xy)(x \cdot y=y \cdot x)$
5. $\forall (xyz)(x + (y + z) = (x + y) + z)$
6. $\forall (xyz)(x \cdot (y \cdot z) = (x \cdot y) \cdot z)$
7. $\exists (x)(x + y = y \wedge x = 0)$
8. $\exists (x)(x \cdot y = y \wedge x = 1)$
9. $\exists (x)(x + y = 0)$
10. $x \neq 0 \rightarrow \exists (x)(x \cdot y = 1)$
11. $\forall (xyz)(x \cdot (y + z) = x \cdot y + x \cdot z)$

manteniendo el orden de la lista anterior.