Determinación de conjuntos 📚

Ejemplos de conjuntos son:

• El conjunto de los huesos de nuestro cuerpo ☠️
• El conjunto de los elementos químicos ⚗️
• El de los componentes de nuestro celular 📞
• El conjunto de las teorías científicas 👨‍🔬
• El conjunto de los números reales #️⃣

En teoría de conjuntos, los conjuntos se designan mediante letras mayúsculas. De los conjuntos que mencionamos, algunos tienen un nombre ya determinado, como el conjunto de los números reales ($\mathbb{R}$), mientras que los demás se podrían designar como $\mathbb{H}$, $\mathbb{E}$, $\mathbb{C}_{cel}$ y $\mathbb{T}$, por designarlos a modo de ejemplo.

Los conjuntos pueden tener elementos o estar vacíos. Si un conjunto está vacío, se designa como $\varnothing$, que se lee "conjunto vacío". Si no está vacío, y tiene a un elemento "$a$", se dice que "$a$ pertenece al conjunto". Cuando un elemento "$a$" pertenece a un conjunto "$A$", se escribe "$a \in A$". Puede darse el caso de que necesitemos escribir "$a$ no pertenece a $A$" matemáticamente; "No pertenece" se escribe "$\notin$" y la frase completa quedaría "$a \notin A$".

¿Cómo puedo saber los elementos que pertenecen a un conjunto? Si consideramos el conjunto de las vocales y lo designamos como $\mathbb{V}$, se puede caracterizar enumerando cada vocal de la siguiente manera: $\{a,e,i,o,u\}$. Esta manera de determinar los elementos de un conjunto se conoce como "método por extensión".

¿Y si son muchos elementos, como las estrellas del universo? En este caso, se puede emplear otro método, conocido como "método por comprensión". Este método consiste en determinar una o más características de los elementos que necesitamos abarcar mediante el conjunto y del mismo modo que en el método anterior, colocarla entre corchetes. Volviendo al caso de las estrellas, si llamamos "$\mathbb{E}$" al conjunto de las estrellas y "es una estrella" (...) resulta ser la característica que determina a los elementos del conjunto, debemos introducir una variable a la que se le pueda asignar esa característica. Puede ser cualquier letra minúscula (tomemos a "$x$"). La variable unida a la característica quedaría así: "$x$ es una estrella". Con todo esto, la determinación de este conjunto queda así:

$\mathbb{V} = \{ x \mid x$ es una estrella $\}$

El símbolo "$\mid$" se lee "tal que", por lo que la frase entera diría "El conjunto de todas las estrellas es igual al conjunto de todos los $x$ tales que $x$ es una estrella". Una genialidad.

El método por extensión se puede aplicar solo a los conjuntos finitos y con pocos elementos. El método por comprensión sirve para conjuntos infinitos o con muchos elementos, siempre y cuando estos elementos tengan una característica definitoria.

Resumen

• Los conjuntos se designan con letras mayúsculas y sus elementos con minúsculas.
• "Pertenece" se escribe "$\in$".
• "No pertenece" se escribe "$\notin$".
• Un conjunto se puede determinar mediante los métodos por extensión o comprensión.
• El método por extensión nombra cada elemento del conjunto. Solo aplica a conjuntos finitos o de pocos elementos.
• El método por comprensión determina al conjunto mediante una característica definitoria que comparten todos los elementos del conjunto. Sirve para conjuntos infinitos.